Petites énigmes

Je partage quelques énigmes « jolies » que j’ai pu rencontrer (correction dans un prochain post!):

1) Peut-on paver un échiquier 2^n \times 2^n auquel on a enlevé une case avec la pièce de 3 cases suivante:L

2) Considérons n personnes numéroté de 0 à n-1, et tel que chaque personne ait un chapeau d’une couleur dans \lbrace 0, .. k-1 \rbrace. La personne i voit les chapeaux de toutes les personnes j > i (et donc, pas le sien). On demande à la première personne, puis la deuxième… une couleur dans \lbrace 0, .. k-1 \rbrace (chaque personne entend les réponses des personnes précédentes). Quelle stratégie doivent adopter ces personnes pour que toutes les personnes de 1 à n-1 donnent la couleur de leurs chapeaux?

3) On découpe une pizza en 2n parts. Alice et Bob choisissent tour à tour, en commençant par Alice, une part de pizza qui doit être une part adjacente à une part déjà prise (sauf pour la première part qui peut être quelconque). Montrer que Alice a une stratégie pour manger au moins la moitié de la pizza.

4) Soit un échiquier n \times n. On infecte initialement k cases. A chaque instant, une case infectée reste infectée et une case adjacente (sans compter les diagonales) à au moins deux cases infectées devient infecté. Quel est le nombre minimum k tel que tout l’échiquier finit par être infecté?

5) Même question avec un tore, un cylindre, en dimension quelconque…

6) On considère un carré qu’on peut découper en petits carrés en traçant des lignes verticales et horizontales (il faut que toutes les composantes du carré découpé soient eux-mêmes des carrés). Quels sont les nombres possibles de petits carrés que l’on peut former? 1 en fait parti (pas de subdivisions), 4 aussi (une ligne horizontale et une verticale, au milieu des côtés). 2 n’en fait pas parti.

7) Une infinité dénombrable d’étudiants se met en une file. Le doyen place, sur le dos de chacun d’eux, un dossard rouge ou bleu. Chaque étudiant voit le dossard de ses deux voisins, mais pas le sien. Lorsque le doyen a terminé, chaque étudiant donne simultanément la couleur qu’il pense avoir dans le dos. Les étudiants gagnent si une infinité d’entre eux trouve la bonne réponse. Quelle stratégie peuvent-ils adopter pour gagner à coup sûr ?

8) Cette fois chaque étudiant voit tous les autres dossards. Quelle stratégie adopter pour que les étudiants aient un nombre fini de mauvaises réponses.

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Une réflexion au sujet de « Petites énigmes »

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